Sudut Pusat Dan Sudut Keliling Lingkaran

Lingkaran adalah kumpulan titik-titik yang membentuk lengkungan tertutup, dimana titik-titik pada lengkungan tersebut berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu yang dimaksud disebut titik pusat. Sebuah lingkaran memiliki beberapa unsur yang membentuk lingkaran tersebut. Unsur-unsur lingkaran antara lain : Busur, Jari-jari, Diameter, Tali busur, Apotema, Juring, dan tembereng

Pada tulisan ini hanya akan dibahas mengenai sudut pusat dan sudut keliling pada lingkaran saja. Pengertian sudut pusat dan sudut keliling lingkaran antara lain sebagai berikut.

Sudut pusat adalah sudut yang titik pusatnya adalah titik pusat lingkaran.Sudut keliling adalah sudut yang kaki sudutnya berhimpit dengan tali busur, dan titik pusatnya berhimpit dengan suatu titik pada lingkaran.

Alat dan bahan yang perlu dipersiapkan sebelum kegiatan pembelajaran antara lain potongan kertas
berbentuk lingkaran.  Siapkan busur derajat. Perhatikan gambar di bawah ini.

Ayo Kita Menggali Informasi
Untuk mengetahui hubungan tersebut, kalian perlu mencarinya. Salah satu cara untuk mencari tahu hubungan antara sudut pusat dengan sudut keliling yang menghadap busur sama adalah dengan kegiatan melipat-lipat kertas. Ikuti kegiatan berikut.

1. Buatlah sketsa dua lingkaran dengan jari-jari sama (misal 5 cm), lalu guntinglah dengan rapi.
2. Lipatlah kedua lingkaran sehingga membentuk sudut pusat 90°. Lalu tandai 2 titik pada busur yang terbentuk misal titik A dan B.
3. Buka salah satu lipatan tersebut, lalu lipat membentuk sudut keliling tertentu yang masing-masing kaki sudutnya melalui titik A dan B. (Keterangan: Misal kaki sudut satu melalui titik A, maka kaki sudut lainnya melalui titik B)
4. Bandingkan besar sudut keliling dengan sudut pusat yang telah kalian buat.
5. Lakukan kembali langkah 1 sampai 4 untuk tiga sudut pusat berbeda.
6. Gunakan busur derajat untuk mengukur besar sudut pusat yang kalian buat.
7. Catatlah hasil percobaan kalian pada tabel berikut.

Ayo Kita Menalar
Perhatikan gambar ke enam pada kegiatan Ayo Kita Amati.

1. Pada gambar tersebut sebutkan sudut keliling yang terbentuk. Sudut keliling MEN dan MFN Sudut pusat MON
2. Kedua sudut keliling serta sudut pusat menghadap busur yang sama, yaitu Busur MN
3. Menurut kalian bagaimanakah hubungan antara kedua sudut keliling tersebut? Jelaskan. Kedua sudut keliling besarnya adalah sama, karena menghadap busur MN.
4. Seandainya kalian membuat sebarang sudut keliling baru yang menghadap busur MN. Bagaimanakah hubungan antara sudut keliling baru tersebut dengan sudut keliling MEN dan MFN? Seandainya dibuat sudut keliling lain yang menghadap busur MN, maka besarnya adalah sama dengan sudut keliling MEN dan MFN.
5. Seandainya kalian disuruh membuat semua sudut keliling yang menghadap busur MN. Berapa banyak sudut keliling yang bisa kalian buat? Tak hingga banyak sudut keliling menghadap busur MN yang bisa dibuat.
6. Bagaimanakah hubungan antar semua sudut keliling tersebut? Jelaskan. Semua sudut keliling tersebut besarnya adalah sama, karena menghadap busur yang, yaitu busur MN.
7. Bagaimanakah hubungan antara semua sudut keliling tersebut dengan sudut pusat yang menghadap busur yang sama? Jelaskan. Besar sudut semua sudut keliling tersebut setengah dari sudut pusat MON.
8. Seandainya kalian diberikan suatu kertas yang berbentuk lingkaran. Bagaimanakah cara kalian membuat sudut keliling yang besarnya tepat 90o dengan cara melipat-lipat kertas tersebut Jelaskan langkah kalian. Dengan melipat lingkaran menjadi dua bagian sama, sehingga membentuk diameter lingkaran. Buatlah sudut keliling yang menghadap sudut pusat yang dibentuk oleh diameter. Maka besar sudut keliling tersebut pasti 90o, karena sudut pusat yang dibentuk oleh diameter adalah 180°

Segi Empat Tali Busur
Segi empat tali busur adalah segi empat yang keempat titik sudutnya berhimpit dengan suatu lingkaran. Perhatikan segi empat tali busur ABCD berikut.

Dengan kegiatan menalar berikut, diharapkan kalian mampu menemukan hubungan antara dua sudut yang saling berhadapan.

1. Segi empat tali busur ABCD tersusun atas dua pasang sudut keliling yang saling berhadapan. Tuliskan kedua pasang sudut keliling tersebut. ∠ABC berhadapan dengan ∠ADC, ∠DAB berhadapan dengan ∠DCB
2. Amati busur yang dihadapi oleh masing-masing sudut keliling yang saling berhadapan Bagaimanakah kedua busur tersebut? Gabungan busur-busur yang dihadapi oleh masing-masing sudut keliling yang saling berhadapan adalah lingkaran.
3. Kaitkan dengan hubungan sudut keliling dan sudut pusat yang telah kalian temukan. Lalu simpulkan hubungan antara dua sudut yang saling berhadapan pada segi empat tali busur tersebut. Kesimpulan : Pada segiempat tali busur, jumlah sudut yang berhadapan adalah 180o.

Ayo Kita Berlatih
1. Suatu sudut keliling dan sudut pusat menghadap busur yang sama. Jika sudut pusat berukuran
130° maka besar sudut keliling tersebut adalah ...
Sudut pusat = 2 x sudut keliling
130 = 2 x sudut keliling
sudut keliling = 130 : 2 = 65
Jadi besar sudut keliling = 65°

2. Diketahui sudut pusat POQ dan sudut keliling PAQ. Besar sudut PAQ adalah 130°. Tentukan
besar sudut POQ.
Diketahui :
Sudut pusat = POQ
Sudut keliling = PAQ = 130°
Ditanya : Sudut pusat POQ ?
Dijawab :
Sudut pusat = 2 x sudut keliling
= 2 x 130°
= 260°

3. Perhatikan gambar di bawah.

Diketahui besar ∠MAN adalah 160°. Tentukan besar ∠MON.
∠MON = 2 x ∠MAN (karena ∠MAN adalah sudut keliling)
= 2 x 160°
= 320°

4. Perhatikan segi empat PQRS di bawah.

Diketahui m ∠ PQR = 125°, m ∠ QRS= 78°
Tentukan m ∠ SPQ dan m ∠ RSP.

∠QRS + ∠SPQ = 180
78 + ∠SPQ = 180
∠SPQ = 180 - 78
∠SPQ = 102°

∠PQR + ∠RSP = 180
125 + ∠RSP = 180
∠RSP = 180 - 125
∠RSP = 55°

5. Perhatikan lingkaran O di bawah.

Diketahui m ∠ BAD = x + 20°, m ∠ BCD = 3x
Tentukan m ∠BOD minor dan m ∠ BOD mayor .

∠BOD minor = 2 (x + 20) = 2x + 40
∠BOD mayor = 2 (3x) = 6x

∠BOD minor + ∠BOD = 360
2x + 40 + 6x = 360
2x + 6x = 360 - 40
8x = 320
x = 320/8
x = 40

∠BOD minor = 2x + 40
= 2(40) + 40
= 120°

∠BOD mayor = 6x
= 6(40)
= 240°